le logarithme

Pas plus qu'il n'est nécessaire d'être mécanicien auto pour conduire une voiture, il n'est important de savoir les propriétés de la fonction logarithme pour l'utiliser à l'aide d'une calculette.
Remarque : dans ces pages html, 102 doit se lire "10 puissance 2"

Avec une calculette

La fonction racine carrée des calculettes les plus simples permet de calculer que la racine carrée de 9 est égale à 3 (vous pouvez faire l'essai). Prenons une calculette scientifique. Même bon marché, elle comporte une touche marquée "log". C'est la bonne. Pour calculer le logarithme du nombre N, il suffit d'appuyer sur la touche log, puis de taper N et enfin d'afficher le résultat en appuyant sur la touche "=". Essayons avec N=100 : logarithme(100)=2.

Exercices

Ces petits exercices permettront à ceux qui ne connaissent par les logarithmes de prendre contact en douveur avec eux.
Utiliser une calculette scientifique.
a) calculer le logarithme de 10. Réponse : 1
b) calculer le logarithme de 3. Réponse : 0,4771212
c) calculer le logarithme de 30. Réponse : 1,4771212
Remarquez que pour obtenir le logarithme de 30 (3x10) il a suffi d'additionner le logarithme de 3 et celui de 10.
Une autre propriété intéressante car évoquant la manipulation des puissances de 10 saute aux yeux dés que l'on calcule les logarithmes de 10, 100, 1000... 1000000 qui donnent :

- log 10 = log 101 = 1.
- log 100 = log 102 = 2.
- log 1000 = log 103 = 3.
- log 10000 = log 104 = 4.
- log 10000 = log 105 = 5.
Un logarithme peut prendre n'importe quelle valeur mais le nombre dont on calcule le logarithme doit être positif. Il est formé de deux nombres séparés par une virgule. La partie à gauche de la virgule est appelée la caractéristique tandis que la partie décimale est la mantisse.

Logarithme népérien, logarithme décimal

Un logarithme se calcule part rapport à une base. En décimal nous utiliserons "10" comme base.
Les logarithmes népériens (de John Napier dit Neper, mathématicien écossais né au 16éme siècle) ont pour base la valeur e = 2.71828. Le logarithme népérien de e est égal à 1.
En abrégé ou dans les démonstrations mathématiques, on écrit ln(x) pour parler du logarithme népérien de x et log(x) pour préciser qu'il s'agit du logarithme décimal.
Le log décimal est calculé à partir du log népérien à l'aide de la formule :

log (x) = ln(x)/ln(10)

où ln(10) = 2,30259
La courbe ci-contre montre la variation de la fonction log(x).
On peut y lire que :
- log(1) = 0
- log(10) = 1
mais aussi que log(0) tend vers moins l'infini.

Quelques formules utilisant les logarithmes décimaux

- Le logarithme d'un produit de deux nombres a et b est égal à la somme des logarithmes de a et de b :
log(a.b) = log(a) + log(b)
- Le logarithme du rapport de deux nombres a et b est égal à la différence des logarithmes de a et de b :
log(a/b) = log(a) - log(b)
- Le logarithme de la racine carrée du nombre a² est égal au logarithme de a² divisé par 2 :
log(a) = log(a²) / 2
- Pour obtenir le logarithme d'un nombre a à la puissance n il suffit de multiplier le log de a par n :
log(an) = n.log(a)

Fonction exponentielle

La fonction qui permet de retrouver le nombre a à partir de son logarithme est la fonction exponentielle exp() :
Pour les logarithmes népériens si a égale e puissance b (avec e=2,71828) alors b=ln(a).
Pour les logarithmes décimaux, l'expression est à peine plus compliquée :
si a=log(b) alors b=exp(ln(10).a) autrement dit b=exp(2,30259.a)
exemple :
log(100) = 2 donc exp(2,30259x2) = 100

La fonction logarithme dans un tableur (Star-Office)

En supposant que la cellule A1 contienne le nombre dont on veut calculer le logarithme décimal (base 10) il suffit de taper dans la cellule souhaitée la formule :
=LOG10(A1)
Le logarithme népérien (base 2.71827) se calcule à l'aide d'une formule différente :
=LN(A1)
Pour calculer le logarithme d'une nombre dans une base quelconque "base" il existe une formule universelle :
=LOG(A1;base)
On remplace "base" par la valeur de la base considérée (10 pour décimale...)
La fonction exponentielle est aussi facile à utiliser. Si la cellule A1 contient le logarithme népérien de a, la cellule qui contiendra la formule suivante permettra de retrouver a :
=EXP(A1)
Et s'il s'agit du log décimal :
=EXP(LN(10)*A1)

Petite table de logarithmes décimaux

Avant l'apparition des calculettes scientifiques il n'y avait pas d'autre solution que d'utiliser les tables de logarithmes publiées sous formes de livres plus ou moins épais suivant le niveau de détail. En voici un extrait.

n	log(n)		n	log(n)
0	-infini		10	1,0000
1	0		11	1,0414
2	0,3010		12	1,0792
3	0,4771		13	1,1139
4	0,6021		14	1,1461
5	0,6989		15	1,1761
6	0,7781		16	1,2041
7	0,8451		17	1,2304
8	0,9031		18	1,2553
9	0,9542		19	1,2788

Exemple :
Vérifions : log(2)+log(3)=log(6) donc 0,3010+0,4771=0,7781
log(2)=0,3010, log(10)=1 donc log(20)=1,3010
Le logarithme de 17,5 peut être calculé par interpolation : en faisant la moyenne entre le log de 17 (1,2304) et celui de 18 (1,2553) soit 1,2433.
Quelques logarithmes de valeurs particulières :
log(pi) = 0,49715
log(pi²) = 0,99430
log(e) = 0,43429
log(g) = 0,99152

Application des logarithmes en radio

La fonction logarithme va permettre d'établir une formule simple pour calculer et exprimer un niveau sonore (entre autres) sans manipuler des nombres astronomiques mais aussi de calculer des différences de niveau, des gains ou des affaiblissements (en tension, en puissance...) faciles à utiliser. Voir le décibel.

Echelle logarithmique sur un graphe

Les deux courbes ci-contre représente toutes deux la courbe de réponse d'un filtre RC passe-haut, c'est à dire la variation de tension à la sortie du filtre en fonction de la fréquence. La tension à l'entrée du filtre est de 100V.
Sur la courbe 1 (en haut), l'échelle des fréquences est logarithmique. On voit très bien ce qui se passe entre 100 et 10000 hertz. L'allure générale de la courbe est celle d'une droite.
Sur la courbe 2 (en bas) l'allure de la courbe est complétement différente et ressemble beaucoup plus à la fonction log(x). Voir la courbe plus haut.
La partie de la courbe entre 0 et 50000 Hz est très peu lisible car elle ne représente que quelques mm.