calcul des decibels

L'oreille humaine permet d'écouter des sons extrêmement faible comme le bruit d'une goutte d'eau s'écrasant sur le sol d'une grotte silencieuse aussi facilement que le vacarme épouvantable des chutes du Niagara. L'étendue des puissances de sons audibles est gigantesque : combien de gouttes d'eau s'écrasent à chaque instant dans une cataracte ? Des milliards ? Des milliards de milliards ? Inutile de faire le calcul. Pourtant on ne peut pas dire que le son d'une cataracte soit des milliards de milliards plus fort que celui de la simple goutte : c'est que l'impression de puissance d'un son n'est pas directement proportionnel à la puissance. Prenons un exemple.
Si l'on admet qu'un duo de 2 violons produit un bruit de "force" 1, il faudra un orchestre de 4 violons pour que l'oreille perçoive un bruit deux fois plus grand, que nous noterons de force 2. Avec 8 violons l'effet produit sera de force 3 et avec 16 il sera de 4, et ainsi de suite...

Dans un récepteur

Sur la bande 2m, un signal reçu S9 (un niveau considéré comme déjà très fort) représente une puissance d'environ 1pW (1 picowatt=0,000000000001W) à l'entrée du récepteur. Pour être audible confortablement, il faudra qu'il soit amplifié par le récepteur de façon à représenter une puissance de 1W dans le haut-parleur (mettons que l'OM soit un peu dur d'oreille, cela simplifie les calculs...). La puissance du signal a été amplifiée 1000000000000 de fois. Ce nombre astronomique n'a rien d'extraordinaire pour un récepteur VHF qui devra rendre audible des signaux 100000 fois plus faibles encore.
La manipulation de tous ces zéros donne le vertige et peut être la source d'erreurs dans les calculs. Heureusement que les logarithmes ont permis la naissance d'une unité de gain et d'affaiblissement plus pratique à utiliser : le décibel.

Gain en décibel d'un amplificateur

Soit un amplificateur de gain A = Ps/Pe où Ps est la puissance de sortie et Pe est la puissance d'entrée de l'amplificateur. Ces deux puissances doivent être exprimées dans la même unité.
Le gain en décibel d'un amplificateur est donné par la formule :

A étant un nombre sans unité exprimant le rapport de puissances Ps/Pe
Le décibel est le dixième du bel, ainsi nommé en l'honneur de Graham Bell, inventeur du téléphone. Le bel étant une unité beaucoup trop grande pour exprimer les niveaux et gains rencontrés usuellement, on lui préfère son sou-multiple.
Exemple :
Le récepteur évoqué ci-dessus a un gain en puissance de 1000000000000 ou 10 puissance 12 (1012), sachant que log(1012)=12 on peut calculer le gain en décibel :
G= 10 x12 = 120 dB

Gain en puissance exprimé en décibels

La formule générale est :

Le tableau ci-dessous donne quelques gains en dB pour différents rapport A=Ps/Pe.

A	G(dB)		A	G(dB)
0,10	-10		10,00	10
1,26	1		15,85	12
1,58	2		19,95	13
2,00	3		31,62	15
2,51	4		39,81	16
3,16	5		63,10	18
3,98	6		100	20
5,01	7		158	22
6,31	8		251	24
7,94	9		1000	30

On voit que :
- Doubler la puissance correspond à un gain de 3 dB
- Quadrupler la puissance correspond à un gain de 6 dB
- Multiplier la puissance par 10 correspond à un gain de 10 dB
- Doubler la puissance par 100 correspond à un gain de 100 dB
- Un gain de 10dB (A=10) est la somme de 7dB (A=5,01) + 3dB (A=2) correspond au produit 5,01x2
Voir le tableau plus complet ci-dessous.

Gain en tension

La mesure d'une tension à l'entrée ou à la sortie d'un ampli ou d'un atténuateur est beaucoup plus facile que celle d'une puissance. C'est pourquoi on essaie toujours de caluler les gains à partir du rapport de tension A=Us/Ue. Cette méthode est valable à condition que l'entrée et la sortie aient la même impédance, par exemple 50 ohms.
La formule qui permet le calcul de G en dB est :

Comme pour le rapport de puissance, un gain en dB négatif est un affaiblissement.
Exemple :
L'amplitude d'un signal à l'entrée d'un câble coaxial est de 10 V et de 2V à la sortie, ce qui fait un rapport de 0,2.
G = 20 x log(0,2) = 20 x -0,7
G = -14 dB

Correspondance entre rapports et dB

Ce tableau permet de déterminer rapidement un gain en connaissant le rapport de puissance ou de tension ou encore de trouver le rapport correspondant à un gain en dB.
Exemple 1 :
Un amplificateur fournit 10 W quand on applique 2 W à son entrée. Le rapport Ps/Pe est égal à 5 donc le gain de l'ampli est de 7dB
Exemple 2 :
On mesure une tension maximum de 4 volts, à quelle tension correspond le niveau -3dB ?
+3 dB correspond à un rapport Us/Ue de 1,41 donc -3dB est équivalent à un rapport Ue/Us de 1/1,41 soit 0,70
la tension correspondante est 4 x 0,70 = 2,8 volts.

dB	Us/Ue	Ps/Pe		dB	Us/Ue	Ps/Pe		dB	Us/Ue	Ps/Pe
1	1,12	1,26		21	11,2	125,9		41	112	12589
2	1,26	1,58		22	12,6	158,5		42	126	15849
3	1,41	2,00		23	14,1	199,5		43	141	19953
4	1,58	2,51		24	15,8	251,2		44	158	25119
5	1,78	3,16		25	17,8	316,2		45	178	31623
6	2,00	3,98		26	20,0	398,1		46	200	39811
7	2,24	5,01		27	22,4	501,2		47	224	50119
8	2,51	6,31		28	25,1	631,0		48	251	63096
9	2,82	7,94		29	28,2	794,3		49	282	79433
10	3,16	10,00		30	31,6	1000,0		50	316	100000
11	3,55	12,59		31	35,5	1258,9		51	355	125893
12	3,98	15,85		32	39,8	1584,9		52	398	158489
13	4,47	19,95		33	44,7	1995,3		53	447	199526
14	5,01	25,12		34	50,1	2511,9		54	501	251189
15	5,62	31,62		35	56,2	3162,3		55	562	316228
16	6,31	39,81		36	63,1	3981,1		56	631	398107
17	7,08	50,12		37	70,8	5011,9		57	708	501187
18	7,94	63,10		38	79,4	6309,6		58	794	630957
19	8,91	79,43		39	89,1	7943,3		59	891	794328
20	10,00	100,00		40	100,0	10000,0		60	1000	1000000

En basse fréquence

Certains contrôleurs universels à aiguille possèdent une échelle en dB. Cette dernière permet la mesure de niveau de signal en BF sur une charge de 600 ohms. Le niveau de référence 0dB correspond à une puissance de 1 mW, ce qui correspond à une tension de 0,775V sur une impédance de 600 ohms.
Exemple :
Un amplificateur sort 1 W sur 600 ohms, le niveau de sortie sera de +30dB. L'amplitude du signal sera alors de 24,5 volts.
Si à l'entrée de cet ampli l'amplitude du signal mesurée sur 600 ohms est de 0,5 volts, la puissance correspondante est de 0,42mW et le niveau de -3,7dB.