Interférences

Approche mathématique simplifiée

Les ondes sont représentées par des fonctions trigonométriques : on peut démontrer qu'une fonction périodique A peut se décomposer en une somme de fonctions trigonométriques (série de fourier). La somme de deux ondes étant linéaire, on peut donc dans un premier temps réduire l'étude à celles des fonctions de type

A(x, t) = A₀.cos(ω.t + k.x + α)

où ω est la pulsation (en rad.s^-1), k est le nombre d'onde (en rad.m^-1) et α est la phase à l'origine (en rad).

A un endroit donné

Pour simplifier, on se place en un endroit x₀ fixe tel que

k.x₀+α = 0

 on a alors

A(x₀, t) = A₀ .cos(ω.t).

Une manière simple d'approcher les interférences consiste à appliquer la formule

cos(a) + cos(b) = 2.cos((a+b)/2).cos((a-b)/2)

alors, pour deux ondes de même amplitude mais de pulsations différentes, on a

A₁(x₀, t) + A₂(x₀, t) = 2.A₀.cos(t.(ω₁+ω₂)/2).cos(t.(ω₁-ω₂)/2)

On a donc une onde de base de pulsation rapide (ω₁+ω₂)/2 combinée à une onde de pulsation lente (ω₁-ω₂)/2. La pulsation lente provoque les battements acoustiques constatés lors de l'accordage d'un instrument de musique.

A un instant donné

On peut faire la même analyse en considérant un instant t₀ donné tel que

ω.t₀+α = 0

On a alors

A₁(x, t₀) + A₂(x, t₀) = 2.A₀.cos(x.(k₁+k₂)/2).cos(x.(k₁- k₂)/2)

on obtient une figure spatiale d'interférence, ayant également une variation de petite longueur d’onde (k₁+k₂)/2 et une variation de grande longueur d'onde (k₁-k₂)/2 (la longueur d'onde est l'inverse du nombre d'onde).

Si l'on considère maintenant des ondes de même amplitude A, de même pulsation ω (donc de même nombre d'onde k) mais de phase α différente, on a

A₁(x, t) + A₂(x, t) = 2A₀.cos(ω.t+k.x+(α₁+α₂)/2).cos((α₁-α₂)/2)

L'onde résultante a donc la même pulsation, mais sa phase à l'origine et son amplitude dépend des phases des ondes interférentes. On voit que si α₁ = α₂ [2π] (les ondes sont dites « en phase »), le facteur cos((α₁-α₂)/2) vaut cos(0) = 1, on a donc une onde d'amplitude double ; on parle d'interférences constructives. (points rouges voir figure)

Si par contre α₁ = α₂+π [2π] (les ondes sont dites « en opposition phase »), le facteur cos((α₁-α₂)/2) vaut cos(π) = 0, les ondes s'annulent ; on parle d'interférences destructives.(points blancs voir figure)

 Entre les situations, l'amplitude passe de 2.A₀ à 0 en fonction du facteur cos((α₁-α₂)/2). Les endroits où l'on a une extinction du son pour deux haut-parleurs branchés en opposition de phase correspondent aux lieux pour lesquels les ondes sont toujours en opposition de phase.(retour)