Il s'agit ici de déterminer l'évolution d'une onde. Pour cela Huygens propose de considérer chaque point de l'onde comme le lieu d'émission d'une petite onde circulaire de même nature que l'onde principale, évidemment. Chaque point génère donc une onde circulaire qui interfère avec l'onde circulaire des autres points pour donner l'amplitude de l'onde à l'instant considéré. Une onde en évolution n'est donc en quelque sorte que le résultat de l'interférence d'une infinité d'ondes circulaires.
La simple évolution d'une onde plane est ainsi expliquée à travers la génération successive de ses fronts d'onde. En effet, chaque front d'onde n'est que le résultat de l'interférence constructive de l'infinité des ondes circulaires créés par les points qui forment le front d'onde précédant. Pour construire un front d'onde à venir, il suffit donc de tracer la multitude de petites ondes circulaires issue du dernier front d'onde et d'observer au bout d'une période leur interférences constructive, comme le montre la figure 2.6.
Figure 2.6 : L'évolution d'une onde plane
L'application de ce principe permet aussi de construire les fronts successifs d'une onde qui parvient sur des obstacles, comme les exemples suivants vont le montrer.
La propagation en ligne droite
L'un des problèmes majeurs posé par la propagation de la lumière à la théorie ondulatoire a été celui de sa propagation en ligne droite. En effet, de par sa nature, la propagation d'une onde se fait dans toutes les directions, ainsi que l'exemple des ondes sonores le montre clairement. Comment donc se peut-il que la lumière se propage en ligne droite, comme le montrent les rayons lumineux traversant le feuillage d'un sous-bois ou ceux d'un faisceau laser apparemment parfaitement rectilignes.
Le principe de Huygens permet de lever le problème de façon remarquable. Pour comprendre comment, il faut considérer une onde plane parvenant sur un obstacle en forme de trou, comme le montre la figure 2.7.
Figure 2.7 : La propagation en ligne droite ou la notion de rayon
On y voit l'onde plane arrivant sur l'obstacle, les points à l'origine des ondes circulaires et surtout l'interférence de celle-ci entre elles qui manifestement est une onde plane limitée aux dimensions du trou. Notez cependant une faible divergence du faisceau marquée par une zone d'interférence constructive très légèrement plus large que les dimensions du trou.
La réflexion
Bien évidemment, la théorie ondulatoire doit aussi expliquer la réflexion à partir du principe de Huygens. La figure 2.8 permet de comprendre comment utiliser ce principe pour l'expliquer.
Figure 2.8 : La réflexion vue par la théorie ondulatoire
On y voit les fronts de l'onde plane parvenant sur la surface réfléchissante, perpendiculaires à sa direction de propagation. Considérons par exemple le point du front d'onde qui est le premier arrivé sur la surface. Il est noté A. Au moment où le front d'onde rencontre la surface, il génère une petite onde circulaire qui va se développer au cours du temps. Ensuite, au moment où l'onde arrive, par exemple, au point noté B, celle-ci génère aussi une petite onde circulaire. Mais l'onde circulaire précédente s'est déjà développe d'une distance correspondant à la longueur d'onde de l'onde. Puis, au point noté C, une autre petite onde circulaire est crée, alors que l'onde au point B s'est développée d'une longueur d'onde et que celle du point A en est à deux longueurs d'onde. Enfin, tandis qu'au point noté D est crée une petite onde circulaire, celle du point C a une extension d'une longueur d'onde, celle du point B a une extension de deux longueurs d'onde et celle du point A à une extension de trois longueurs d'onde. En réalité, tous les points entre A et D produisent de petites ondes circulaires qui se développent au fur et à mesure. Alors, chacune de ces petites ondes circulaires interfèrent constructivement (si on considère pour front d'onde les maxima d'amplitude) pour donner naissance au front d'onde réfléchi.
En considérant la figure 2.9, on peut aussi démontrer quantitativement la loi de la réflexion.
Figure 2.9 : La réflexion vue par la théorie ondulatoire
démonstration
Considérons pour cela les deux triangles ABD et DCA. La droite CD marque la direction de propagation de l'onde incidente. La droite AC marque la direction du front d'onde incident. Ces deux droite sont donc perpendiculaires. Ainsi l'angle ACD est droit. De la même manière la droite AB marque la direction de propagation de l'onde réfléchie. La droite BD marque la direction du front d'onde réfléchi. Ces deux droites sont donc perpendiculaires. Ainsi l'angle ABD est droit. Par ailleurs, ces deux triangles ont un côté commun : AD et deux côtés de même grandeurs : AB et CD. En effet, lors d'une réflexion, l'onde ne changeant pas de milieu, la vitesse de propagation est la même pour l'onde incident et l'onde réfléchie. A vitesse égale, au moment où le point C de l'onde arrive au point D, l'onde circulaire émise par A vers B aura parcouru la même distance. Ainsi, les deux triangles ont un côté identique, un angle (opposé à ce côté) identique et un autre coté de même longueur. Ils ne peuvent qu'être semblables. Ce qui signifie que les angles BAD et CDA sont identiques et que les angles d'incidence par rapport à la normale et de réflexion par rapport à la normale sont aussi identiques. C'est ce qu'il fallait démontrer.
La réfraction
Pour la réfraction, il en va de même que pour la réflexion. Le principe de Huygens, encore une fois, permet de l'expliquer correctement.
Avant de voir comment, on peut se représenter simplement le phénomène par une analogie. Considérons un bataillon de soldats bien alignés sur quelques dizaines de rangées, comme on pouvait en voir sur les champs de batailles du XIXe siècle. Chacun de ses soldats, par peur où courageusement, applique la règle d'or du bon soldat : obéir aux ordres qui sont de marcher en ligne droite devant lui à vitesse constante. Au départ son mouvement est aisé. Il marche en rase campagne dans la prairie. Le front du bataillon est bien rectiligne. Mais voilà que son déplacement le mène directement vers la lisière d'une forêt qu'il aborde avec un certain angle, de biais. Comme la progression à travers les bois se trouve être moins aisée que dans la prairie, le premier homme qui parvient à la lisière de la forêt voit sa vitesse de progression diminuer. Quelques instants plus tard, c'est le second homme qui ralentit. Puis de proche en proche les suivants ralentissent aussi. Le front se casse donc puisque les soldats qui sont encore dans la prairie progressent encore rapidement. Pourtant, chaque soldat continue d'appliquer les ordres : progresser tout droit devant lui. Mais le fait que la vitesse de certains ait diminuée produit un changement de la direction du front de soldat, comme on peut le voir sur la figure 2.10.
Figure 2.10 : La réfraction une analogie
Clairement, la direction de déplacement du front de soldats est déviée vers la normale à la lisière de la forêt, ce qui est compatible avec les expériences de déviation d'un faisceau lumineux qui passe d'un milieu peu dense (air, par exemple) à un milieu plus dense (eau, par exemple).
Évidemment la démonstration fait appel au principe de Huygens. Considérons la figure 2.11.
Figure 2.11 : La réfraction vue par la théorie ondulatoire
démonstration
Et considérons sur cette figure les triangles ABC et CDA. Ils ont en commun le côté AC. Et on peut écrire respectivement : Or, AB=4· l2 et cd=4· l1. Mais, si la longueur d'onde change avec le changement de milieu, sa fréquence reste constante. Donc, la période T aussi. Ainsi, le fait que la longueur d'onde change est dû au fait d'un changement de la vitesse de l'onde lors du changement de milieu. On peut écrire alors : Ainsi, on a : et ce qui implique Or, on a vu au paragraphe 1.4.1 que : ce qui implique ou n1· sin(a)=n2· sin(b)
ce qu'il fallait démontrer.
La diffraction
Nous nous limiterons à décrire ici le phénomène de diffraction et n'entrerons pas dans les détails mathématiques. Ce phénomène est purement ondulatoire et le principe de Huygens permet de le conprendre clairement. Lorsqu'une onde parvient sur un obstacle, selon sa longueur d'onde, elle peut s'étendre plus ou moins derrière celui-ci. La figure 2.12 montre le cas où la taille d'une ou verture dans un obstacle est grande devant la longueur d'onde de l'onde qui la traverse.
Figure 2.12 : La diffraction a >> l
On voit que la superposition des ondes se produit seulement dans une zone très localisée autour du faisceau émergeant de l'ouverture. Il y a peu de diffraction.
Par contre, lorsque les dimensions de l'ouverture sont voisines de la longueur d'onde, la divergence par rapport au faisceau émergeant de l'ouverture est bien plus conséquente (voir figure 2.13). La diffraction est forte.
Bien entendu, cela reste valable pour une onde contournant un obstacle. Ainsi, de la lumière peut se trouver derrière celui-ci malgré une source très lointaine.
Figure 2.13 : La diffraction a = l
L'interférence
Nous avons déjà parlé d'interférence. Dans ce paragraphe nous allons nous intéresser plus précisément à une expérience historique qui illustre magnifiquement le conportement étonnant des ondes lumineuses : l'expérience de Young. Encore une fois, nous en resterons à une analyse qualitative de celle-ci pour ne pas alourdir la compréhension du phénomène. Mais on trouve dans la litérature beaucoup de description mathématiques qui satisferont le lecteur qui désire en savoir plus.
L'expérience de Young consiste simplement à faire passer de la lumière à travers deux fentes percées dans un obstacle. Si la lumière qui parvient sur ce dernier vient de loin, on peut considérer qu'il reçoit des ondes planes. Chaque fente agit alors comme la source d'une onde circulaire (ou sphérique) qui va interférer avec l'onde circulaire (ou sphérique) provenant de la seconde fente. Il va alors se produire des maxima et des minima dans des directions privilégiées, comme le montre la figure 2.14.
Figure 2.14 : L'expérience de Young dite des deux fentes
Le résultat de la projection de ces maxima et minima d'interférence sur un écran est montré sur la droite de la figure. Il s'agit d'un ensemble dit de franges d'interférence caractéristiques de la nature ondulatoire de la lumière qui traverse les deux fentes. On peut encore montrer que la distance entre les franges est liée à la distance entre les deux fentes. C'est ainsi que l'on peut étudier les cristaux. On les soumet à des rayons X qui vont produire à leur sortie des franges d'interférence caractéristiques des distances entre leurs divers composants atomiques.
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