Traitement du Signal 1

I- Signaux physiques et modèles théoriques

Signal et Information

Signal : est une représentation physique de l’information.

Bruit : est un phénomène perturbateur gênant  l’interprétation du signal.

Sur le plan analytique :

Un signal sera une fonction d'une variable réelle,  en général le TEMPS.         

Exemples : 

            • Signal audio  x(t)

            • Signal vidéo noir et blanc       p(x,y,t) (monodimensionnelle et multi variable )

            • Signal vidéo couleur   p(c,x,y,t)  = [r(x,y,t) , v(x,y,t), b(x,y,t) ]

                        (Multidimensionnelle et multi variable)

Traitement du signal

C’est la Théorie qui permet d'effectuer une description (une modélisation)  et une analyse des signaux et des systèmes.

Le traitement du signal a pour objectif la réalisation et l'interprétation des signaux porteurs d'information.

La Communication

une chaîne de transmission dans laquelle le bruit s'ajoute au signal au niveau du codage (émetteur) puis dans le canal de transmission (rayonnement, couplage) et au niveau du récepteur dans lequel on va faire du traitement du signal pour extraire notre signal du bruit (information sans intérêt)

Représentation analogique et numérique

une chaîne de transmission dans laquelle le bruit s'ajoute au signal au niveau du codage (émetteur) puis dans le canal de transmission (rayonnement, couplage) et au niveau du récepteur dans lequel on va faire du traitement du signal pour extraire notre signal du bruit (information sans intérêt)

Les signaux peut avoir une manifestation physique comme une force electro-magnétique (onde hertzienne), une tension ou un courent (dans une circuit), une champ magnétique (une disquette) ou même par les formes physique (disque phonographique).

Les avances en moyen informatique (puissance de calcul) ont rendu possible le expression et traitement de signaux en forme numérique. Mais pour numériser, il faut d'abord échantillonner. Nous allons voir que la passage analogique - numérique implique nécessairement une perte d'information. Cette perte peut être minimisé par l'application des outils adaptés.

Tout système de traitement de signaux faisant appel à un ordinateur ou à un processeur numérique spécialisé implique nécessairement une opération préliminaire de conversion analogique-numérique (A/N).

L’information traitée est restituée sous forme analogique par une conversion Numérique-analogique (N/A) ( dit digital to analog ou A/D en Anglais).

 

La conversion analogique numérique implique un échantillonnage suivi d’une opération qui consiste à remplacer la valeur exacte analogique de l’échantillon par la plus proche valeur approximative extraite d’un ensemble fini de valeurs discrètes.

Cette opération s'appelle la quantification. ("digitizing" en anglais).

Chacune de ces valeurs discrètes est exprimée par un nombre sous forme binaire, par un codage approprié. Ce nombre est compris entre deux valeurs limites qui fixent la plage de conversion.

Chaque nombre xk, représente un ensemble de valeurs analogiques contenues dans un intervalle de largeur ∆k appelé pas de quantification. Lorsque la plage de conversion est subdivisée en pas de quantification égaux, on parle de quantification uniforme.

Un signal analogique est une fonction x(t) d'amplitude continue, définit sur t continue. Un signal numérique est une tableau x(n) d'amplitude discret définit pour t discrète. La passage x(t) -> x(n) ajout un bruit.

Le bruit d'un signal est mesuré par son énergie.

L'énergie d'un Signal

L'énergie d'un signal, x(t),  sur l'intervalle [t1, t2]:

ou pour un signal discrète, x(n) sur l'intervalle [N1, N2] :

l'énergie d'un signal est une caractéristique liée à la quantité de l'information représentée.

La qualité d'un signal est souvent représentée par le rapport de l'énergie du signal divisé par l'énergie du bruit, appelée "Rapport signal/bruit" (SNR en anglais).

pour  x(t) = s(t) + n(t).

Le rapport signal sur bruit est défini par

Ws est l'énergie (2me Moment) du signal x(t) et

Wn est l'énergie (2me Moment) du bruit n(t)

Le SNR est souvent représenté avec une échelle logarithmique appelée décibels et noté dB.

xdB= 10 log10 x

Un facteur de 3 dB est équivalent à un facteur de 2

Puissance moyenne d'un signal:   (dimension carré de celle de x(t)).

 

L'énergie totale et la puissance moyenne totale sont calculées sur tout l'intervalle de temps soit :

 

Si le signal est représenté par une fonction complexe de la variable t, on remplace

 x2(t) par | x(t)| 2

Une distinction peut être faite entre :

• Les signaux à énergie finie,

• Les signaux à puissance moyenne finie non nulle.

Classification des Signaux

Les signaux périodiques

x(t) = x(t+kT)

Le signal sinusoïdal est le plus représentatif de ces signaux périodiques:

Les signaux à énergie finie 

Les signaux à énergie finie sont ceux pour lesquels l'intégrale suivante est bornée :

Ces signaux sont dits de carré intégrable (sommable), leur puissance moyenne est nulle.

Les signaux à puissance moyenne finie non nulle

Les signaux périodiques, quasi périodiques, et signaux aléatoires permanents.

Ces signaux satisfont à la condition suivante

Signaux de durée finie

Signaux de durée limitée ou "support borné" :

Signaux pairs et impairs

Un signal est pair si  x(t) = x(–t)                                   exemple :  cos(w t)

Un signal est impair si  x(t) = –x(–t)                             exemple : sin(w t)

Remarque :

Tout signal réel peut être décomposé en une partie "paire" et une partie "impaire".

x(t) = xp(t) + xi(t)

avec

xp(t) = [ x(t) + x(–t) ]                         et                                 xi(t) = [ x(t) – x(–t) ]

Signaux causals

Un signal est dit causal s'il est nul pour toute valeur négative du temps

x(t) = 0   t< 0